Tập tất cả các đa thức của m biến P ( x 1 , x 2 , . . . , x m ) {\displaystyle P(x_{1},x_{2},...,x_{m})} trên vành K là một vành, ký hiệu là P [ x 1 , x 2 , . . . , x m ] {\displaystyle P[x_{1},x_{2},...,x_{m}]} . Vành này được gọi là vành đa thức.

Nghiệm của đa thức

Khi thay các biến ( x 1 , x 2 , . . . , x m ) {\displaystyle (x_{1},x_{2},...,x_{m})} bằng bộ các giá trị ( c 1 , c 2 , . . . , c m ) ∈ K m {\displaystyle (c_{1},c_{2},...,c_{m})\in K^{m}} và thực hiện các phép toán ta được kết quả là một phần tử ∈ K m {\displaystyle \in K^{m}} , được gọi là giá trị của đa thức tại ( c 1 , c 2 , . . . , c m ) {\displaystyle (c_{1},c_{2},...,c_{m})} :

P ( c 1 , c 2 , . . . , c m ) = ∑ i = 0 n a i ⋅ c 1 k i , 1 c 2 k i , 2 . . . c m k i , m {\displaystyle P(c_{1},c_{2},...,c_{m})=\sum _{i=0}^{n}a_{i}\cdot c_{1}^{k_{i,1}}c_{2}^{k_{i,2}}...c_{m}^{k_{i,m}}}

Nếu P ( c 1 , c 2 , . . . , c m ) = 0 {\displaystyle P(c_{1},c_{2},...,c_{m})=0} thì ( c 1 , c 2 , . . . , c m ) {\displaystyle (c_{1},c_{2},...,c_{m})} được gọi là nghiệm của đa thức. Chúng còn được gọi là các điểm 0 của đa thức qua định lý sau: " a được gọi là nghiệm của đa thức f(x) khi và chỉ khi f(a)=0"

Các bài toán đầu tiên về đa thức là tìm các nghiệm của đa thức, cũng là nghiệm của phương trình đại số vì nếu ta có x là nghiệm của đa thức f(x) làm cho đa thức này bằng không và x cũng là nghiệm của đa thức g(x) và làm cho nó bằng 0 thì f(x)=g(x)=0 và do đó là nghiệm của phương trình.

P ( x 1 , x 2 , . . . , x m ) = 0 {\displaystyle P(x_{1},x_{2},...,x_{m})=0}

nên đa thức của m biến được nhiều người gọi là đa thức của m ẩn.

Định lý về nghiệm của đa thức có nhiều ứng dụng, chẳng hạn như tìm các hệ số để đa thức f(x) chí hết cho đa thức g(x), lấy ví dụ:

TÌm m để p ( x ) = x 4 + 5 x 3 − 4 x 2 + 3 x + m {\displaystyle p(x)=x^{4}+5x^{3}-4x^{2}+3x+m} chia hết cho đa thức x − 2 {\displaystyle x-2} .

Nếu ta chia theo cách thông thường thì nó cũng sẽ ra nhưng không khoa học, ở đây giả thiết p(x) chia hết cho (x-2) tức là p(x) sẽ được phân tích bằng đa thức g(x) nào đó nhân với x-2, tức là

p ( x ) = ( x − 2 ) . g ( x ) {\displaystyle p(x)=(x-2).g(x)} hay nói cách khác 2 là một nghiệm của đa thức, ta thay vào p(x) suy ra m=-46. Điều này có thể kiểm nghiệm bằng phép chia đa thức cho đa thức.